Skip to content
Poznámky

Řešení soustavy rovnic

Charakteristika úlohy. Eliminační a iterační výpočetní metody.

  • Jakými způsoby lze vyřešit soustavu lineárních rovnic?
  • Jaké jsou podmínky nalezení řešení? Jak poznáme, zda má soustava jedno, žádné či více řešení?

Způsoby řešení soustavy rovnic

Eliminační metody

Snažíme se proměnné osamostatnit, abychom pak se znalostí jejich hodnot mohli dopočítat zbylé. To se obvykle provádí přes matice a jejich úpravy. U Gaussovy eliminační metody se snažíme matici dostat na trojúhelníkový tvar, čímž zjistíme hodnotu samostatné proměnné, potom té nad ní, a tak dále.

(1)2x1+x2−x3=8(2)−3x1−x2+2x3=−11(3)−2x1+x2+2x3=−3\begin{gathered}(1)&2x_1&+&x_2&-&x_3&=&8\\(2)&-3x_1&-&x_2&+&2x_3&=&-11\\(3)&-2x_1&+&x_2&+&2x_3&=&-3\end{gathered}

Tuto soustavu si převedeme na rozšířenou matici soustavy a potom upravujeme na trojúhelníkový tvar. Řádky můžeme prohazovat, nebo násobit a přičítat k ostatním.

(21−18−3−12−11−212−3)∼(21−180121210215)∼(21−1801212100−11)\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1\\0&2&1&5\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1\\0&0&-1&1\end{array}\right)

Z toho již jdou zezdola nahoru hodnoty pro každou z hledaných proměnných.

(1)2x1+x2−x3=8(2)12x2+12x3=1(3)−x3=1\begin{gathered}(1)&2x_1&+&x_2&-&x_3&=&8\\(2)&&&\frac{1}{2}x_2&+&\frac{1}{2}x_3&=&1\\(3)&&&&&-x_3&=&1\end{gathered}

Kdybychom upravili i na horní trojúhelníkovou matici, pak máme hodnoty hned v hlavní diagonále a použijeme tzv. Gaussovu-Jordanovu eliminaci. Dalším postupem je tzv. LU rozklad, ve kterém se matice rozloží na součin dolní trojúhelníkové (L) a horní trojúhelníkové (U) a postupně se také dostáváme k hledaným hodnotám.

Přes determinanty

Využívá Cramerovo pravidlo. Nejdříve si vypočteme determinant matice složené z koeficientů u neznámých. Poté si vezmeme vektor řešení a postupně ho dosazujeme místo sloupců v původní matici. Pro hodnotu každé proměnné potom platí, že se rovná podílu determinantu upravené matice a determinantu matice původní.

(1)x1+2x2=3(2)4x1+5x2=6\begin{gathered}(1)&x_1&+&2x_2&=&3\\(2)&4x_1&+&5x_2&=&6\end{gathered}

Determinant původní matice vypočteme podle hlavních a vedlejších diagonál, takže 1⋅5−2⋅4=−31\cdot5-2\cdot4=-3. Poté už jenom dosazujeme místo sloupců, takže bude platit:

x1=detA1detA=∣3265∣−3=3⋅5−2⋅6−3=3−3=−1x2=detA2detA=∣1346∣−3=1⋅6−3⋅4−3=−6−3=2\begin{gathered}x_1=\frac{detA_1}{detA} = \frac{\begin{vmatrix}3&2\\6&5\end{vmatrix}}{-3}=\frac{3\cdot5-2\cdot6}{-3}=\frac{3}{-3}=-1\\x_2=\frac{detA_2}{detA}=\frac{\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}{-3}=\frac{1\cdot6-3\cdot4}{-3}=\frac{-6}{-3}=2\end{gathered}

Tento postup se stává nepraktickým při velkých maticích, protože je poté náročné spočítat jejich determinant.

Určení počtu řešení

Determinanty se nám také hodí k určení počtu řešení soustavy rovnic. Pokud je determinant nulový, pak má soustava buď nekonečně mnoho řešení, nebo není žádné. Pokud je nenulový, pak bude mít soustava právě 1 řešení. Pro přesnější určení počtu řešení můžeme využít hodnost matice. Porovnáváme hodnost matice soustavy (A), rozšířené matice soustavy (A|b), kde b reprezentuje sloupec výsledků a počet řádků (n). Hodnost přitom získáme převodem na trojúhelníkový tvar a následným vyškrtáním nulových a duplicitních řádků (zbylé řádky nesmí být lineárně nezávislé)

  • Pokud jsou všechny tři hodnoty stejné (A = A|b = n), pak má soustava jedno řešení
  • Pokud je hodnost A menší než hodnost A|b, pak soustava řešení nemá
  • Pokud se hodnosti obou matic rovnají, ale jsou obě menší než n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení a musíme použít parametry